mateforum.ro

Deocamdata trei probleme
Problema 1
Problema 3
Problema 4

Sa se determine toate polinoamele \( f\in\mathbb{Z}[X] \) neconstante cu proprietatea ca exista \( k\in\mathbb{N}^{*} \) astfel incat pentru orice numar prim \( p \) sa avem ca \( f(p) \) are cel mult \( k \) divizori primi distincti.

Vlad Matei

Fie \( A,B,C \) trei puncte laticiale in plan cu proprietatea ca exista un unic punct \( P \) laticial strict in interiorul triunghiului \( ABC \). Fie \( AP\cap BC=\{E\} \).
Determinati \( \displaystyle \max_{A,B,C}\frac{AP}{PE} \).

Octavian Ganea

Fie \( x_i,y_i>0 \),\( i=\overline{1,n} \) cu \( \displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_i\geq \sum_{i=1}^{n} x_iy_i \). Demonstrati ca pentru orice \( p\in\mathbb{N} \) avem \( \displaystyle \sum_{i=1}^{n}\frac{x_i}{y_i^p}\geq \sum_{i=1}^{n} x_i \).

Cezar Lupu

Observatie: Inegalitatea are loc pentru orice \( p\geq 0 \).

Demonstratia nu este a mea, se regaseste in Basic Algebra de Nathan Jacobson. Ideea e urmatoarea: corpurile de caracteristica 0 verifica proprietatea de separabilitate. Deci trebuie sa ne uitam la un corp finit de caracteristica p . Lema Polinomul X^p-a din F[X], unde F este corp de caracteristica p...

Am zis sa pastrez solutia cu forma Jordan pe cazul general. Practic pentru matricea A=C^{-1}JC avem A^k=C^{-1}J^k C . Acum practic trebuie sa ne uitam doar la matricea Jordan. Daca o ridicam la o putere e ca si cum am ridica blocurile componente la acea putere. Deci este suficient sa ne uitam la mat...

Ok, o demonstratie pentru GL_2(F_q) . Nu o sa tratez q=2 . Voi scrie matricea \displaystyle A=\frac{\tr(A)}{2} \cdot I_2+X . Din Hamilton-Cayley X^2=-\det(X)\cdot I_2, deoarece \tr(X)=0 . Folosind binomul lui Newton \displaystyle A^q=\frac{\tr^q(A)}{2^q} \cdot I_2+X^q . Acum daca \det(X)=0 avem \dis...

Eu o sa ma limitez la o variatiune pe \( SL_{2}(\mathbb{Z}) \), anume ca ecuatia \( A^{2k+1}+B^{2k+1}=C^{2k+1} \) are o infinitate de solutii peste \( SL_{2}(\mathbb{Z}) \).

Este suficient la a) sa ne uitam la polinoamul obtinut prin aplicarea normei si sa demonstram ca este ireductibil peste \mathbb{Z}[X] . Pentru a) \overline{f}=X^8-2X^4+4X^2+12X+10 caruia putem sa ii aplicam criteriul lui Eisenstein pentru p=2 . Pentru b) avem pentru a fi reductibil ca necesarmente a...

Hai sa demonstram ca \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1} F(x)=0 .Vom folosi \displaystyle x-\frac{x^{2}}{2} < \ln{(1+x)} < x pentru x\in(0;1) de unde \int_{x}^{x^{2}}\left(\frac{1}{t-1}+\frac{1}{3-t}\right) \hspace{1mm} dt \geq F(x) \geq \int_{x}^{x^{2}} \frac{1}{t-1}\hspace{1mm} dt de unde \ln{(x+1...

Fie \( p\equiv 3(mod \hspace{1mm} 4) \).Demonstrati ca \( \displaystyle \prod_{k=1}^{p}(k^{2}+1) \equiv 4 (mod \hspace{1mm} p) \).

Fie \( f\in\mathbb{Z}[X] \) de grad cel putin \( 2 \).Demonstrati ca exista o infinitate de \( x\in\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \) astfel incat \( f(x)\in\mathbb{Z} \).

Ideea e ca putem lua \( z=x+y+2t+1 \) unde \( x+y+xy=t^{2} \). Prima data am pus \( z=x+y+k \) si de acolo am vazut ca merge \( k=2t+1 \).

Calculând pentru ce ai spus ca da maximul o sa obtii \( n-1 \). Trebuie aratat ca punctul optim este de genul \( (x,0,1,..,0,1) \) de unde maximul va fi \( n-2+\max(\sqrt{x}+\sqrt{1-x}) \). Asadar maximul va fi \( n-2+\sqrt{2} \).

Da se pare ca am echivalat doua chestii care nu prea erau. Tre sa mai ma uit un pic pe desen.
Tot ce ramane de demonstrat este \( A_{1}A_{2} \) ,\( RS \) si \( MN \) sunt concurente.

Foarte draguta problema. De fapt H nu joaca nici un rol in poza noastra. Puteam sa luam orice punct. Prima data sa vedem cum se reformuleaza problema. In hexagonul inscriptibil A_{1}A_{2}XB_{2}B_{1}H cu teorema lui Pascal avem ca A_{1}A_{2}\cap B_{1}B_{2} , A_{2} X\cap B_{1}H , XB_{2}\cap HA_{1} sun...

Sa notam centrele cercurilor (BFE) , (DFE) (DFC) , (BFC) cu O_{1} , O_{2} , O_{3} , O_{4} . Acum din ipoteza O_{1}O_{3}\cap O_{2}O_{4}=\{F\} . Folosind prima coliniaritate si faptele ca sunt centre avem \angle CFD=\angle CBF+\angle DEF si \angle DFE =\angle FCD+\angle FBE . Observatia care incheie p...