Exista f:[0,1]->R care are primitive si e surjectiva

[Cezar Lupu]

a) Aratati ca exista o functie \( f:[0,1]\to\mathbb{R} \) care admite primitive si este surjectiva.

b) Exista o functie \( g:[0,1]\to\mathbb{R} \) care admite primitive si este bijectiva?

"Vranceanu-Procopiu" 2007

[Laurentiu Tucaa]

Pentru punctul a) nu sunt foarte sigur da cred ca functia definita prin \( f(x)=\frac{1}{x-a}\cdot\sin\frac{1}{x-a},x\in[0,a)\cap(a,1] ;f(a)=0 \) indeplineste conditiile chiar pt orice \( a\in(0,1) \).

[andy crisan]

Pentru b) evident nu exista caci daca o astfel de functie ar exista, cum \( f \) admite primitive inseamna ca \( f \) are proprietatea lui Darboux si cum este injectiva inseamna ca este continua deci duce intervale compacte in intervale compacte deci \( f \) nu este surjectiva.