Doua matrice care comuta au aceeasi vectori proprii?

Bogdan Cebere · Post by **Bogdan Cebere** » Wed Mar 19, 2008 5:56 pm

Cum se poate demonstra ca doua matrice care comuta au aceeasi vectori proprii? Deoarece toata lumea spune ca e banala...dar nu vad solutia.

Post by **Beniamin Bogosel** » Fri Mar 21, 2008 1:32 pm

Fie \( \mathbb K=\mathbb R \) sau \( \mathbb C \).
Fie \( A\in \mathcal M_n(\mathbb{K}) \). Un vector propriu al lui \( A \) este o matrice coloana din \( \mathcal M_{n,1}(\mathbb{ K}) \) care verifica
\( (A-\lambda I)X=0_{n,1} \), unde \( \lambda \) este valoare proprie pentru \( A \).

Demonstratia este evidenta pentru ca cele doua matrici \( AB,\ BA \) au aceleasi valori proprii. Atunci \( X \) este vector propriu pentru \( AB \) daca si numai daca exista o valoare proprie astfel incit \( (AB-\lambda I)X=O \) echivalent cu \( (BA-\lambda I)X=O \) echivalent cu \( X \) e vector propriu pentru \( BA \).

Bogdan Cebere · Post by **Bogdan Cebere** » Fri Mar 21, 2008 1:50 pm

Sa inteleg ca din faptul ca AB si BA au aceeasi vectori proprii rezulta ca A si B au aceeasi vectori proprii?

Post by **Beniamin Bogosel** » Fri Mar 21, 2008 2:56 pm

Pai \( AB, BA \) comuta in ipoteza ta, de-aia \( AB \) si \( BA \) au aceiasi vectori proprii.
\( AB,\ BA \) au in general aceleasi valori proprii.

Trebuia sa demnstrez ca A si B au aceiasi vectori proprii? poate ca nu ai inteles bine problema de unde ai auzit-o.

Contraexemplu!
I comuta cu orice matrice A, dar de aici si din cele ce spui tu ar rezulta ca A are aceiasi vectori proprii cu I pentru orice A, ceea ce evident nu este adevarat.

Intelegi ce vreau sa spun??

Bogdan Cebere · Post by **Bogdan Cebere** » Fri Mar 21, 2008 3:26 pm

Am inteles. Greseala mea. Acum inteleg de ce nu reuseam sa demonstez. Problema era de fapt urmatoarea:
Daca AB=BA, aratati ca A si B au cel putin un vector propriu comun.

Post by **Alin Galatan** » Sat Mar 22, 2008 2:45 am

Singura solutie pe care o stiu la chestia asta foloseste spatii vectoriale si transformari lineare, ce depasesc clasa a 11-a.

Liviu Ornea · Post by **Liviu Ornea** » Sat Mar 22, 2008 8:56 am

Mi-e teamă că peste \( \mathbb{R} \) nici enunţul al doilea nu e adevărat. Gîndeşte-te la două matrice de rotaţie în plan, în jurul originii.

În paranteză fie spus, nu cred că e bine să vă ocupaţi de probleme de tipul acesta la nivelul liceului. E preferabil să priviţi matricele ca aplicaţii lineare, vectorii proprii să-i legaţi de subspaţii invariante etc. Altfel, problemele se reduc la manipulări (deloc uşoare, uneori) algebrice şi se pierde semnificaţia geometrică şi posibilitatea generalizării.
L.O.

Bogdan Cebere · Post by **Bogdan Cebere** » Sat Mar 22, 2008 9:05 am

Iata un link catre o generalizare, care in postul al doilea primeste o solutie destul de elementara.
http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?s ... 97&t=38967