Am incercat sa pun in solutie niste referinte la Hartshorne, dar m-am plictisit intre timp, c-ar fi trebuit sa pun in fiecare paragraf. Sunt destule detalii care lipsesc, dar se pot gasi in Cap. 2, 3 din Hartshorne. La fel ca si multe din detaliile care nu lipsesc
.
In primul rand putem presupune ca
\( e\geq 2 \), altfel
\( \pi \) este izomorfism si afirmatiile de la 1, 2, 3 care sunt adevarate (adica totul in afara de prima parte din 2) se verifica usor.
1. Aratam mai intai ca
\( Pic(Z)\simeq Pic(X)\oplus\mathbb{Z} \). Avem un sir exact (II.6.5)
\( \mathbb{Z}\rightarrow Pic(Z)\rightarrow Pic(Z-E)\rightarrow 0 \)
unde prima aplicatie este
\( 1\mapsto E \), iar cea de-a doua este aplicatia de restrictie. Compozitia
\( Pic(X)\stackrel{\pi^*}{\rightarrow}Pic(Z)\rightarrow Pic(Z-E) \) este un izomorfism pentru ca
\( \pi \) induce un izomorfism intre
\( X-Y \) si
\( Z-E \), iar restrictia
\( Pic(X)\rightarrow Pic(X-Y) \) este un izomorfism (
\( Y \) are codimensiune cel putin
\( 2 \)). Deci ramane sa aratam ca
\( \mathbb{Z}\rightarrow Pic(Z) \) este injectiva.
Daca
\( \mathcal{I} \) este fascicolul de ideale al lui
\( Y \), atunci
\( \mathcal{I\prime}=\pi^{-1}\mathcal{I}\cdot\mathcal{O}_Z \) este fascicolul de ideale al lui
\( E \). Imaginea inversa a lui
\( E \) (
\( i^*E \), unde cu
\( i \) am notat incluziunea
\( E\rightarrow Z \)) in
\( Pic(E) \) este
\( \mathcal{I\prime}/\mathcal{I\prime}^2=\mathcal{O}_E(1) \) (II.8.24) care nu are ordin finit in
\( Pic(E) \) (local este
\( \mathcal{O}(1) \) intr-un spatiu proiectiv). Sunt cateva detalii de dat legate de ultimele afirmatii, dar ar lungi prea mult demonstratia
Ce e important e ca
\( E \) este de fapt fibratul proiectiv (nu stiu daca e corect termenul) asociat fibratului
\( \mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \) pe
\( Y \).
Acum ca avem izomorfismul
\( Pic(Z)\simeq Pic(X)\oplus\mathbb{Z} \), vom arata ca
\( \omega_Z=\pi^*\omega_X\otimes\mathcal{O}_Z((e-1)E) \), adica 1 scris multiplicativ (am notat cu
\( \omega \) fibratul canonic). Din faptul ca
\( \pi \) induce un izomorfism intre
\( Z-E \) si
\( X-Y \), si din izomorfismul
\( Pic(X)\simeq Pic(X-Y) \) provenit din restrictie, este imediat faptul ca
\( \omega_Z=\pi^*\omega_X\otimes\mathcal{O}_Z(qE) \) pentru un
\( q \). Acum daca luam puterea exterioara de rang maxim in sirul exact
\( 0\rightarrow\mathcal{I\prime}/\mathcal{I\prime}^2\rightarrow i^*\Omega_Z\rightarrow\Omega_Y\rightarrow 0 \)
(am notat cu
\( \Omega \) fascicolul de diferentiale) obtinem ca
\( i^*\omega_Z=\mathcal{O}_E(1)\otimes\omega_E \), deci
\( \omega_E=\pi^*\omega_X\otimes\mathcal{O}_E(-q-1) \) (pentru ca
\( \mathcal{I\prime}=\mathcal{O}_Z(-E) \), deci
\( \mathcal{O}_E(1)=\mathcal{I\prime}/\mathcal{I\prime}^2=\mathcal{I\prime}\otimes\mathcal{O}_E=i^*(\mathcal{O}_Z(-E)) \);
\( \pi \) in ultima formula reprezinta de fapt restrictia lui
\( \pi \) la
\( E \), iar
\( \omega_X \) este imaginea inversa pe
\( Y \) a fibratului canonic de pe
\( X \)). Acum daca luam un deschis afin
\( U \) in
\( Y \) pe care
\( \omega_X \) e trivial si
\( \mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \) e liber,
\( \pi^{-1}(U) \) este un spatiu proiectiv de dimensiune
\( e-1 \), deci
\( \omega_E \) este
\( \mathcal{O}(-e) \) pe
\( \pi^{-1}(U) \), de unde
\( q=e-1 \).
2. Prima parte rezulta din ce-a demonstrat Alexandru intr-un alt post:
\( aE \) e efectiv, are imaginea de codimensiune cel putin
\( 2 \),
\( \pi \) e propriu si birational,
\( X \) e normal. Pentru ce-a de-a doua parte vom face inductie dupa
\( a \). Consideram sirul exact
\( 0\rightarrow\mathcal{O}_Z(-E)\rightarrow\mathcal{O}_Z\rightarrow\mathcal{O}_E\rightarrow 0\ (1) \)
si tensorizam cu
\( \mathcal{O}_Z(-aE) \). Obtinem
\( 0\rightarrow\mathcal{O}_Z(-(a+1)E)\rightarrow\mathcal{O}_Z(-aE)\rightarrow\mathcal{O}_E(a)\rightarrow 0 \)
Cum
\( R^1\pi(\mathcal{O}_Z(-(a+1)E))=0 \) (din 3), aplicand
\( \pi^* \) obtinem din sirul lung de coomologie
\( 0\rightarrow\pi_*\mathcal{O}_Z(-(a+1)E)\rightarrow\pi_*\mathcal{O}_Z(-aE)\rightarrow\pi_*\mathcal{O}_E(a)\rightarrow 0 \)
Cum
\( \pi_*\mathcal{O}_E(a)=\mathcal{I}^{a}/\mathcal{I}^{a+1} \) (II.7.11 plus faptul ca
\( E \) e fibrat proiectiv) concluzia e imediata.
3. Problema e locala pe
\( X \), deci putem presupune ca
\( X=Spec(A) \), idealul corespunzator lui
\( Y \) are
\( r \) generatori
\( a_1,...,a_e \) si
\( I/I^2 \) e liber de rang
\( e \). Atunci
\( Z=Proj(S) \) unde
\( S=\bigoplus_{n\geq 0}I^n \) si fascicolul de ideale al lui
\( E \) este
\( \mathcal{O}(1) \). Avem de demonstrat in acest caz ca
\( H^{i}(Z,\mathcal{O}(a))=0 \) pentru
\( i>0 \) si
\( a\geq 0 \). Notam cu
\( I_{+} \) idealul
\( \bigoplus_{n>0}I^{n} \). E clar ca
\( I_{+} \) e generat de
\( a_1,...,a_e \).
Coomologia fascicolelor
\( \mathcal{O}(n) \),
\( n\in\mathbb{Z} \) este calculata din complexul de
\( S \)-module graduate
\( \prod S_{a_i}\rightarrow\prod S_{a_ia_j}\rightarrow...\rightarrow S_{a_1...a_e}\ (2) \)
(in grad
\( n \) avem coomologia fascicolului
\( \mathcal{O}(n) \)). Notam
\( X\prime=Spec(S) \),
\( Y\prime=V(I_+)\subset X\prime \),
\( U\prime=X\prime-Y\prime \). Este clar ca (2) calculeaza coomologia fascicolului
\( \widetilde{S} \) pe
\( U\prime \) (este complexul Cech asociat unei acoperiri cu deschisi afini). Din sirul lung de coomologie cu suporti in
\( Y\prime \) obtinem
\( H_{Y\prime}^i(X\prime,\widetilde{S})\rightarrow H^i(X\prime,\widetilde{S})\rightarrow H^i(U\prime,\widetilde{S})\rightarrow H_{Y\prime}^{i+1}(X\prime,\widetilde{S})\ (3) \)
Cum
\( X\prime \) e afina,
\( H^i(X\prime,\widetilde{S})=0 \) pentru
\( i>0 \) si un fapt simplu de coomologie locala spune ca
\( H_{Y\prime}^{i}(X\prime,\widetilde{S})=0 \) pentru
\( i<depth_{I_+}(S) \). Vom arata ca
\( (a_1,...,a_e) \) formeaza un sir regulat pe
\( S \), de unde va rezulta ca
\( depth_{I_+}(S)=e \) si din (3)
\( H^i(U\prime,\widetilde{S})=0 \) pentru
\( 1\leq i<e-1 \). Obtinem astfel ca
\( H^i(Z,\mathcal{O}(n))=0 \) pentru
\( i=\overline{1,e-2} \) sau
\( i\geq e \) si orice
\( n \). Ramane de aratat ca in grad
\( n\geq 0 \) (de fapt
\( n\geq 1-e \)) ultimul morfism din (2) este surjectiv, ceea ce este evident.
Faptul ca
\( (a_1,...,a_e) \) e sir regulat este echivalent cu injectivitatea aplicatiilor
\( I^n/JI^{n-1}\stackrel{\cdot a_i}{\rightarrow}I^{n+1}/JI^{n} \) pentru
\( J=(a_1,...,a_{i-1}) \),
\( n\geq 1 \) (aici
\( I,J \) sunt ideale in
\( A \)). Trebuie deci sa aratam ca daca
\( f\in I^n \) si
\( a_if\in JI^n \), atunci
\( f\in JI^{n-1} \). Cum
\( a_i\notin J \) rezulta ca
\( f\in J \), deci
\( f\in J\cap I^n \), asa ca e suficient sa aratam ca
\( J\cap I^n=JI^{n-1} \). Incluziunea de la dreapta la stanga e evidenta. Vom demonstra egalitatea prin inductie dupa numarul de generatori ai lui
\( J \). Daca
\( J=0 \) nu e nimic de aratat. Pentru pasul de inductie, fie
\( x\in J\cap I^n \). Stim ca in
\( A/(a_1) \) avem egalitatea celor doua ideale, deci
\( x-a_1y\in JI^{n-1} \) pentru un
\( y \), adica
\( a_1y\in J\cap I^n \). Cum
\( \oplus_{n\geq 0}I^n/I^{n+1} \) este inel de polinoame, inmultirea
\( I^n/I^{n+1}\times I^m/I^{m+1}\rightarrow I^{n+m}/I^{n+m+1} \) e injectiva, deci daca
\( x\in I^n \),
\( y\in I^m \) si
\( xy\in I^{n+m+1} \) atunci
\( x\in I^{n+1} \) sau
\( y\in I^{m+1} \). Cum
\( a_1\notin I^2 \) si
\( a_1y\in I^n \) rezulta ca
\( y\in I^{n-1} \) si inductia e completa.