Macedonia, 1995

[Claudiu Mindrila]

Aratati ca daca \( a,b,c \in (0, +\infty) \) , atunci \( \Sigma \sqrt{\frac{a}{b+c}} \geq 2 \).

[Ahiles]

Din \( AM-GM \) avem:
\( x+y+z\ge 2\sqrt{x}\cdot\sqrt{y+z} \)
\( \sqrt{\frac{x}{y+z}}=\frac{x}{\sqrt{x}\cdot \sqrt{y+z}}\ge \frac{x}{\frac{x+y+z}{2}}=\frac{2x}{x+y+z} \)
Prin adunare obtinem:
\( \sum \sqrt{\frac{x}{y+z}}\ge \sum \frac{2x}{z+y+z}=2 \)
cu egalitate numai pentru \( (0;1;1) \)

[Filip Chindea]

Ai propus problema cu "mai mare sau egal". Imi poti indica un singur caz de egalitate? In general, o astfel de formulare nu este "fair-play": daca se poate, spuneti totul despre problema, inclusiv faptul ca acel \( 2 \) nu poate fi imbunatatit.

PS. Vedeti si aici.

[BogdanCNFB]

Avem \( M_G\ge M_H \)
Rezulta ca \( \sqrt{\frac{a}{b+c}}=\sqrt{1\cdot\frac{a}{b+c}}\ge\frac{2}{1+\frac{b+c}{a}}=\frac{2a}{a+b+c} \)
Analog, \( \sqrt{\frac{b}{a+c}}\ge\frac{2b}{a+b+c} \) si \( \sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2c}{a+b+c} \)
Prin insumare rezulta concluzia.