Sume de raze ale cercurilor inscrise

[Filip Chindea]

Un patrulater ortodiagonal este inscris intr-un patrat, fiecare varf al patrulaterului aflandu-se pe cate o latura. Astfel, patratul este partitionat in opt triunghiuri care sunt colorate dupa regula hartii cu doua culori. Aratati ca sumele razelor cercurilor inscrise in triunghiurile la fel colorate sunt egale.

[ Teste tip OIM 2008 - Problema 2/Test 5 ]

[maxim bogdan]

Nu stiu in ce consta regula hartii,dar cred ca se rezolva folosind urmatoarea lema:

Fie \( ABC \) un triunghi dreptunghic in \( A \) cu lungimile laturilor \( a,b,c \).Atunci \( r=\frac{b+c-a}{2} \).

Dem:\( r=\frac{S}{p}=\frac{bc}{a+b+c}=\frac{bc(b+c-a)}{(a+b+c)(b+c-a)} \)

\( =\frac{bc(b+c-a)}{(b+c)^2-a^2}=\frac{bc(b+c-a)}{2bc}=\frac{b+c-a}{2} \).In demonstratie am folosit teorema lui Pitagora

[Marius Mainea]

Nu stiu in ce consta regula hartii,

dar cred ca se rezolva folosind urmatoarea lema:

Fie \( ABC \) un triunghi dreptunghic in \( A \) cu lungimile laturilor \( a,b,c \).Atunci \( r=\frac{b+c-a}{2} \).

Dem:\( r=\frac{S}{p}=\frac{bc}{a+b+c}=\frac{bc(b+c-a)}{(a+b+c)(b+c-a)} \)

\( =\frac{bc(b+c-a)}{(b+c)^2-a^2}=\frac{bc(b+c-a)}{2bc}=\frac{b+c-a}{2} \).In demonstratie am folosit teorema lui Pitagora

Nu stiu in ce consta regula hartii,

,,Doua triunghiuri cu o latura comuna, sunt colorate diferit''

Se foloseste formula razei de mai sus si observatia ca suma catetelor celor doua triunghiuri ,,formate'' pe doua varfuri opuse ale patratului, este aceeasi pentru celelalte doua tringhiuri ,,formate'' pe celelalte doua virfuri opuse.