Inegalitate de la concursul Arhimede

[Claudiu Mindrila]

Sa se arate ca pentru orice numere reale strict pozitive \( a,b,c \) are loc inegalitatea: \( \frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a} \geq \frac{(a+b+c)^2}{3} \).
Nicolae Papacu, Concursul revistei Arhimede 2008, faza a 2-a

[Beniamin Bogosel]

Cam simpluta...

Tripletele \( (a^3,b^3,c^3) \) si \( (\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}) \) atunci din Cebasev rezulta \( LHS \geq a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3} \).

[Claudiu Mindrila]

Vrei sa spui "inegalitatea rearanjamentelor", nu?

[Cezar Lupu]

Cam simpluta...

Tripletele \( (a^3,b^3,c^3) \) si \( (\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}) \) atunci din Cebasev rezulta \( LHS \geq a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3} \).

Beni, este inegalitatea rearanjamentelor ce vrei tu sa zici acolo, insa putem da o solutie ceva mai simpla, anume:

Din inegalitatea Cauchy-Schwarz, avem ca

\( (ab+bc+ca)\left(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\right)\geq (a^2+b^2+c^2)^{2} \). Ne mai ramane astfel, sa aratam ca

\( (a^2+b^2+c^2)^2\geq \frac{1}{3}(a+b+c)^{2}(ab+bc+ca) \)

ceea ce este evident din inegalitatile \( 3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^{2} \) si \( a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca \). \( \qed \)