Problema (own)

[Amaranth]

\( a \cdot b \cdot c = 70 \) si \( a + b + c = 14 \), \( a,b,c \in \mathbb{N} \) aflati \( (a,b,c) \)

[Amaranth]

Ganditi-va ca a,b,c < 14 ... Incercati variantele care il vor avea ca produs pe 70.

[Virgil Nicula]

\( a \cdot b \cdot c = 70 \) si \( a + b + c = 14 \), \( a,b,c \in \mathbb{N} \) aflati \( (a,b,c) \)

Demonstratie.

Presupunem fara a restrange generalitatea ca \( a\le b\le c \) . Deoarece \( a\le \frac {14}{3} \)

( sau o conditie "mai tare" \( a\le \sqrt[3]{70}\le\frac {14}{3} \) , insa suntem la clasa a V - a ! ),

\( a\in\mathbb N \) si \( a \) divide \( 70 \) rezulta ca \( a\in\{1,2\} \) . Distingem doua cazuri :

Cazul 1. \( a=1\Longrightarrow \) \( \left\|\begin{array}{c}
bc=70\\\\
b+c=13\end{array}\right\|\Longrightarrow \) etc \( \Longrightarrow \) \( \emptyset \) .

Cazul . \( a=2\Longrightarrow \) \( \left\|\begin{array}{c}
bc=35\\\\
b+c=12\end{array}\right\|\Longrightarrow \) \( b=5 \) si \( c=7 \) .

In concluzie, \( \{a,b,c\}=\{2,5,7\} \) .

Observatie.

Amaranth, te-as ruga sa nu mai dai indicatii, chiar daca trece si un an fara solutie ...

[miruna.lazar]

Am gasit o rezolvare " mai de clasa a V - a " pentru problema asta... Deci:

Il notam pe 70 ca \( 7 \cdot 10 \) , unde 10 este notat \( 2\cdot 5 \)

Deci \( 7\cdot 2 \cdot 5 = 70 \)=> numerele cautate sunt 2 , 5, 7 ( eventual si in alta ordine la scrierea a =... , b=... , c =... )

[Laurian Filip]

Am gasit o rezolvare " mai de clasa a V - a " pentru problema asta... Deci:

Il notam pe 70 ca \( 7 \cdot 10 \) , unde 10 este notat \( 2\cdot 5 \)

Deci \( 7\cdot 2 \cdot 5 = 70 \)=> numerele cautate sunt 2 , 5, 7 ( eventual si in alta ordine la scrierea a =... , b=... , c =... )

dar nu crezi ca si
\( 1\cdot1\cdot70 = 70 \)
sau \( 1\cdot7\cdot10=70 \)

[miruna.lazar]

Ba da dar acele numere le-am gasit special ca sa aiba suma 14. Pentru ca acel exemplu da alta suma decat 14 ... 72 si 18 Problema am facut-o pe maculator , dupa aceea am incercat toate posibilitatile si am scris rezolvarea corecta. Asa a obtinut si domnul Virgil Nicula daca nu ma insel , nu-i asa ?

[Laurian Filip]

Sunt de acord, dar ce ai scris tu mai sus nu se numeste chiar o "rezolvare". Daca ai fi scris toate cazurile atunci ar fi fost bine. Asa arata ca si cum doar ai fi ghicit solutia.

[miruna.lazar]

Ar trebui sa le scriu ca sa fie mai copleta ? Intreb , as vrea sa se inteleaga ca am facut problema aceasta fara sa ghicesc...Dar pana le urma , le-ai scris tu...M-am uitat si exact astea erau si la mine in caiet...

[Laurian Filip]

mai e una

[miruna.lazar]

\( 1\cdot {14} \cdot 5 \) ? Eu pe asta am gasit-o


\( {14}\cdot{5} = 70 \)

[Amaranth]

si totusi 1+14+5 = 20