Problema "easy-ish" de maxim

[Filip Chindea]

Data fiind \( x^2 + y^2 \le 2x + 6y \), sa se afle maximul lui \( E = x + 3y \), unde \( x, y \) sunt reale.
(***, Shortlist ONM 2007, Cls. VII-VIII).

[Filip Chindea]

Indicatie. \( \max E = 20 \), cu egalitate doar pentru \( x = 2 \) si \( y = 6 \).

[Baiatul destept]

Acum sincer sa fiu eu nu prea stiu, mai precis nu am nici o idee, cum sa folosesc latexul asha ca o sa incerc sa fiu cat mai explicit.

Se observa ca pentru \( x \in R \) \\( [0,2] \) avem \( x^2 -2x \) >0. Analog pt \( y \in R \)\ \( [0,6] \) avem \( y^2 -6y \) > 0 =>
cazul 1 ) \( x \in [0,2] \) si \( y \in [0,6] \) => max \( E=20 \)
cazul 2 ) \( x \in [0,2] \) si \( y \in R \)\\( [0,6] \) cautam max de E=>
\( y(y-6)<=x(2-x) \)
max de \( x(2-x) \) este in \( x=1 \) => calculam \( y(y-6)=1 \) si obtinem \( y=3+\sqrt{10} \) de unde rezulta ca \( E=10+3\sqrt{10}<20 \)
cazul 3) \( y \in [0,6] => y(6-y) \) are val max in \( y=3 \) si obtinem \( x=1+ \sqrt{10} => E<20 \).
Deci max \( E=20 \) pt \( x=2 \) si \( y=6 \)

[Filip Chindea]

Acum uita-te si peste solutia frumoasa, care trebuia sa fie evidenta daca ai "lecturat" pâna acum cu atentie forum-ul (vezi aici):
Evident, din enunt \( x + 3y \ge 0 \).
Pai din Cauchy
\( (x + 3y)^2 \le (1^2 + 3^2)(x^2 + y^2) = 10(x^2 + y^2) \le 10(2x + 6y) = 20(x + 3y) \).
Rezulta \( (x + 3y)^2 \le 20(x + 3y) \), deci \( x + 3y \le 20 \), cu egalitate doar pentru \( x = 2 \) si \( y = 6 \).

[Virgil Nicula]

Data fiind relatia \( x^2 + y^2 \le 2x + 6y \), sa se afle maximul expresiei \( x + 3y \), unde \( x \), \( y \) sunt reale (Shortlist ONM 2007, Cls. VII-VIII).

Nu stiu daca cei din clasa a VII - a stiu sau trebuie sa stie inegalitatea C.B.S. chiar si pentru \( n=2 \) .

De aceea zic ca solutia oficiala sa nu o foloseasca ! In consecinta, ma simt indreptatit sa ofer o solutie "adecvata". Iata !

Notam \( \underline {\overline {\left|\ t=x+3y\ \right|}} \) . Se observa ca \( x^2+y^2\le 2x+6y\ \Longleftrightarrow\ y^2+(t-3y)^2\le 2t\ \Longleftrightarrow\ 10\underline y^2-6t\cdot \underline y+t^2-2t\le 0. \)

Prin urmare, discriminantul (redus) \( \Delta^{\prim} \) al ecuatiei \( 10\underline y^2-6t\cdot \underline y+t^2-2t= 0 \) trebuie sa fie nenegativ (este clar, da ?!).

Asadar, \( \Delta^{\prim}=9t^2-10(t^2-2t)\ge 0\ \Longleftrightarrow\ t^2\le 20t\ \Longleftrightarrow\ t\in [0, 20] \) , adica \( \overline {\underline {\left|\ 0\le x+3y\le 20\ \right|}} \) .

Insa totusi elevul din clasa a VII - a trebuie sa stapaneasca bine ecuatia, chiar si inecuatia de gradul II.

Uneori am un sentiment de ingrijorare fata de elevii talentati. Cate trebuie sa stie "saracii" la varsta jocului in aer liber !

Sper ca acesta a fost unul dintre motivele pentru care problema asta a fost trecuta pe ... lista scurta.

Filip Chindea, frumoasa solutie, insa ne-ai dat un link care nu mai exista ! Iata o usoara extindere :

Data fiind relatia \( x^2 + y^2 \le k(ax+by) \) , sa se afle maximul expresiei

\( ax + by \) , unde \( x \) , \( y \) sunt reale si \( a \) , \( b \) , \( k \) sunt constante pozitive.

Raspuns : \( k\left(a^2+b^2\right) \) .

Iata si o frumoasa interpretare (solutie) geometrica a acestei probleme. Ne situam la nivelul clasei a IX - a

(sau a X - a, ca nu cunosc prea bine programa asta "dinamica" de la un an la altul !).

Consideram discul \( D \) caracterizat de inecuatia \( (x-1)^2+(y-3)^2\le 10 \) cu centrul \( C(1,3) \) (originea apartine frontierei discului !) si fasciculul de drepte paralele \( d_m \) de ecuatie \( x+3y-m=0 \), \( m\in\mathrm R \) . Se observa ca distanta de la origine la dreapta \( d_m \) este \( \frac {|m|}{\sqrt 10} \). Problema devine a cauta dreapta faciculului (a detemina \( m \)) pentru care \( d_m\cap D\ne\emptyset \) si distanta de la origine la ea sa fie maxima, adica \( |m| \) este maxim. Este evident ca extremul se atinge cand dreapta \( d_m \) este tangenta cercului (nu in origine !). Se observa ca \( OC\perp d_m \), \( \left(\forall\right )\ m\in\mathbb R \) . Deci punctul de tangenta este \( T(2,6) \) si \( OT=2\sqrt {10} \). Asadar, \( \frac {|m|}{\sqrt {10}}=2\sqrt {10}\ \Longrightarrow\ m=20\ \Longrightarrow\ x+3y\le 20. \)

In sfarsit, va ofer o generalizare cu care sa va "jucati (distrati)" atat algebric, cat si geometric.

Data fiind relatia \( x^2 + y^2 \le ax + by \), sa se afle "imaginea" expresiei \( cx + dy \), unde \( x \), \( y \) sunt reale si \( a \) , \( b \) , \( c \) , \( d \) sunt constante pozitive.

Raspuns ( vezi si aici ).
\( |c(x-a)+d(y-b)|\ \le\ \sqrt {\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)} \) \( \Longleftrightarrow \) \( \underline {\overline {\left|\ (ac+bd)-\sqrt {(a^2+b^2)(c^2+d^2)}\le cx+dy\le ac+bd+\sqrt {(a^2+b^2)(c^2+d^2)}\ \right|}} \) .

[Filip Chindea]

Link-ul este de fapt acesta (s-a efectuat o reorganizare a forumului, iar problemele s-au mutat de la sectiunea "concursuri" la sectiunile specifice pe clase).

Programa clasele 2006-2007 V-VIII (ultima pe care o am), astfel incat se observa cerinta ca elevii de cls. VII sa cunoasca, pt. Faza Nationala, CBS & inegalitatile uzuale HM-GM-AM.

Dupa parerea mea, pe shortlist-ul din 2006 la cls. VII-VIII au existat probleme exagerat de dificile (cazul de fata este "un joc"). Vedeti aici si aici.

[Virgil Nicula]

Filip & Co., incercati sa rezolvati ALGEBRIC inegalitatea

Data fiind relatia \( x^2 + y^2 \le ax + by \), sa se afle "imaginea" expresiei \( cx + dy \), unde \( x \), \( y \) sunt reale si \( a \) , \( b \) , \( c \) , \( d \) sunt constante pozitive.

[Filip Chindea]

OK! Insa acest lucru nu ma va impiedica sa utilizez toate tehnicile... "hibrid" (care, de fapt, pot fi cunoscute si pe topic-ul unde suntem, adica la cls. VII-a). Concret:

Mai intai, omogenizam conditia initiala prin substitutia \( X := x - a/2 \), \( Y := y - b/2 \). Deci \( E(x, y) := cx + dy = \frac{ac + bd}{2} + cX + dY \), iar ipoteza devine \( X^2 + Y^2 \le t \), \( t := \frac{a^2 + b^2}{4} > 0 \).

In concluzie, substituind si \( w := X/\sqrt{t} \),

\( cX + dY \le cX + d|Y| \le cX + d\sqrt{t - X^2} = \sqrt{t}\left(cw + d\sqrt{1 - w^2}\right) \).

Dar \( w \in [0, 1] \). Fie \( \alpha \in [0, \pi/2] \) cu \( w = \sin(\alpha) \). Deci \( \cos(\alpha) \in [0, 1] \).

Ultima substitutie pe care o efectuam este \( \varphi := \arccos\left(\frac{c}{\sqrt{c^2 + d^2}}\right) \). In final, \( cX + dY = \sqrt{t(c^2 + d^2)} \cdot \sin(\alpha + \varphi) \le \sqrt{t(c^2 + d^2)} \). O simpla verificare ne arata ca putem avea egalitate in fiecare relatie (cu \( \alpha + \varphi = \pi/2 \)), pentru \( x, y > 0 \).

De aici \( E(x, y) \le \frac{1}{2} \left(ac + bd + \sqrt{(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)}\right) \). Inegalitatea din stanga se verifica similar.

O alta problema care poate fi atacata cu metode similare este numarul 2 de aici (TST I 2007, intrebarea 4).