Inegalitate conditionata

[Marius Mainea]

Aratati ca daca a,b,c sunt numere eale si \( ab+bc+ca=2 \) ,atunci

\( (a+b)^4(b+c)^4(c+a)^4\le 8(a^4+4)(b^4+4)(c^4+4) \)

Se poate realiza egalitatea?


Concursul,,Nicolae Paun'' 2004

[Claudiu Mindrila]

Pentru orice \( x,y \in \mathbb{R} \) avem \( 2(x^2+y^2) \geq (x+y)^2( \Longleftrightarrow (x-y)^2 \geq 0) \).
Rezulta ca \( 2(a^4+4 ) \geq (a^2+2)^2=(a^2+ab+bc+ca)^2=((a+b)(a+c))^2 \). Scriind inegalitatile analoage si inmultindu-le rezulta cerinta problemei. Egalitatea are loc cand \( a=b=c \), adica \( a=b=c=\sqrt{\frac{2}{3}} \).

[Marius Mainea]

Dar pe de alta parte trebuie ca \( a^2=2 \) si analoagele ceea ce nu prea se poate.

Deci egalitatea nu poate avea loc.

[Claudiu Mindrila]

[quote="Marius Mainea"]Dar pe de alta parte trebuie ca \( a^2=2 \)
De ce?

[Marius Mainea]

Dar pe de alta parte trebuie ca \( a^2=2 \)
De ce?

Pai daca \( a^2=2 \) si \( a=\sqrt{\frac{2}{3}} \)