Gradele unor extinderi

[Mihai Berbec]

Calculati gradele urmatoarelor extinderi:
i) \( \mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}(\sqrt[5]{9}) \).
ii) \( \mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}(\cos{\frac{2\pi}{7}}) \). Care este polinomul minimal al lui \( cos{\frac{2\pi}{7}} \)?

[bae]

O solutie amuzanta pentru i) la care avem impedimentul ca nu stim sa aratam imediat ca polinomul \( X^5-9 \) este ireductibil peste \( \mathbb{Q} \) ca nu prea merge criteriul lui Eisenstein: avem sirul de extinderi \( \mathbb{Q}\subset\mathbb{Q}(\sqrt[5]{9})\subset\mathbb{Q}(\sqrt[5]{3}) \). Cum extinderea \( \mathbb{Q}\subset\mathbb{Q}(\sqrt[5]{3}) \) are gradul 5 (polinomul \( X^5-3 \) este ireductibil peste \( \mathbb{Q} \) conform criteriului lui Eisenstein ), atunci orice extindere intermediara coincide cu \( \mathbb{Q} \) sau cu \( \mathbb{Q}(\sqrt[5]{3}) \). In cazul nostru va coincide evident cu \( \mathbb{Q}(\sqrt[5]{3}) \) si gata.
Obtinem ca bonus ca polinomul \( X^5-9 \) este ireductibil peste \( \mathbb{Q} \).

Punctul ii) nu mai este la fel de amuzant, dar daca ne gandim putin la radacinile de ordin 7 ale unitatii ar trebui sa iasa usor. Mai las si studentii sa rezolve, ca sa nu ma simt ca la seminar.

[Mihai Berbec]

As prefera alta solutie (\( X^5-9 \) este ireductibil...) pt ca astfel obtinem si o generalizare !

[bae]

***

[Mihai Berbec]

Reformulez : Aratati ca polinomul \( X^5-9 \) este ireductibil in \( \mathbb{Q}[X] \).

[bae]

***

[Mihai Berbec]

Pai daca asta te intereseaza, pune-o ca problema separata. Desi parca tocmai am dat o solutie!

Solutia dvs este buna dar e un pic cam "particulara"... daca avem asa ceva \( \mathbb{Q}\subset \mathbb{Q}(\sqrt[105]{9}) \) mai merge ?

PS Daca tot te pasioneaza ireductibilitatile, cum crezi ca se arata, fara sa folosesti extinderi de corpuri, ca polinomul de grad 8 cu coeficienti rationali si care are ca radacina pe \sqrt2+\sqrt3+\sqrt5 este ireductibil?

Cred ca stiu cu extinderi ... Fara, ma mai gandesc !