mateforum.ro

Metoda II a>1\ \Longleftrightarrow functia logaritmica de baza a este strict crescatoare. Aplicand Bernoulli de 2 ori \Longleftrightarrow \Longleftrightarrow\ log_{a}^n(1+a)\ =\ log_{a}^n\[a\(1+\frac{1}{a}\)\]\ =\ \(1 + log_{a}\(1+\frac{1}{a}\)\)^n\ \ge\ 1+nlog_{a}\(1 + \frac{1}{a}\)\ =\ 1+log_{a}\...

Rezolvati in \( R \) ecuatia :

\( |1-x|\ +\ x|x|\ +\ |1+x|\ =\ 3. \)

Daca \( a>1 \) , atunci aratati ca :

\( log_{a}(a+n) \le log_{a}^n(1+a)\ ,\ (\forall) x \in N \).

prof. Mihai Dicu (generalizarea unei probleme din G.M.1/2007)

Sa se determine \( x,y \in R \) stiind ca:


\( tg^4x + tg^4y +2ctg^2x ctg^2y = 3+sin^2(x+y) \)

Am gasit Se arata pe rand ca \( MN || AC \) , \( QP || AC \) respectiv \( NP || BD \) si \( QM || BD \)

\( Z_{M}=\frac{Z_{A}+Z_{B}}{2} \)
\( Z_{N}=\frac{Z_{B}+Z_{C}}{2} \)

Arat ca \( MN||AC \) \( \Longleftrightarrow \) \( \frac{Z_{C}-Z_{A}}{\frac{Z_{B}+Z_{C}}{2}-\frac{Z_{A}+Z_{B}}{2}} = 2 \in R \) . Analog celelalte

Fie \( ABCD \) un patrulater convex , iar \( M \),\( N \),\( P \),\( Q \) mijloacele laturilor.Sa se arate ca \( MNPQ \) este paralelogram.


Caut o rezolvare cu numere complexe (Aplicarea Nr. Complexe in trigonometrie) dar inca nu am reusit..

Exista functii injective \( f:R \rightarrow R \), astfel incat:

\( 3f^3(x^5-x^4+x^3) - f^2(x^5-x^4+x^3) \ge f^4(x)+4,\forall x \in R \)?

Patrulaterul \( ADCD \) are doua laturi opuse paralele. Fie \( M \) si \( N \) mijloacele laturilor \( [DC] \), respectiv \( [BC] \) iar \( \{P\}=AM \cap DN \). Daca \( \frac{PM}{AP}=\frac{1}{4} \), atunci patrulaterul \( ABCD \)este paralelogram.

ONM 1997

Exista o rezolvare cu geometrie analitica ?

1. a) Fie a>0,b>0 doua numere reale. Sa se arate ca : \frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\ge\frac{{(x+y)}^2}{a+b};x,y \in R. b) Daca a,b,c>1;a,b,c \in R , sa se arate ca : \frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1}\ge12. 2. Fie {(a_n)}_{n\ge1} o progresie aritmetica in care primul termen si ratia sunt ...

\( Fie\ x,y,z>0. \)

\( Sa\ se\ demonstreze\ ca\ : \)

\( \frac{xy}{xy+x+y}+\frac{yz}{yz+y+z}+\frac{zx}{zx+z+x} \le\frac{2}{3}+\frac{x^2+y^2+z^2}{9} \)

Fie \( a,b,c \ge 0 \) si \( a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4 \) astfel incat exista triunghiul ABC in care \( a=2\cos A,\ b=2\cos B,\ c=2\cos C. \) Sa se demonstreze ca \( a+b+c\le3. \)

\( Se\ considera\ functia\ f:\mathbb{R}- \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R},f(x)=ax+b,a\not=0. \)
\( Sa\ se\ arate\ ca\ functia\ f\ are\ cel\ putin\ o\ valoare\ irationala. \)

\( a) \)Aflati ultima cifra a numarului : \( N\ =\ 1\ \cdot\ 3\ \cdot\ 5\ ...\ \cdot\ 99. \)

\( b) \)In cate cifre de \( 0 \) se termina numarul : \( N\ =\ 1\ \cdot\ 2\ \cdot\ 3\ \cdot\ ...\ \cdot\ 100\ ? \)

2)\ 3a-b=17\ \rightarrow\ a \ =\ \frac{17+b}{3} \ a+3b=29\ \rightarrow\ a \ =\ 29-3b Egalam\ relatiile\ obtinute\ : \ \frac{17+b}{3}\ =\ 29\ -\ 3b\ \rightarrow\ 17+b=87-9b\ \rightarrow\ 10b=87-17\ \rightarrow\ 10b=70\ \rightarrow\ b=7 Inlocuim\ :\ a+21=29\ \rightarrow\ a=8. 3)\ 10a-b=30\ \rightarro...

La punctul \( a) \) unde cere sa afli cati divizori are numarul respectiv : \( 111,\ (a+b+c),\ 3,\ 37,\ 1 \)

Iar la punctul \( c) \) trebuie pus \( 576 \) nu este divizibil cu \( 37 \).

Si poti posta orice problema ..

A fost o problema destul de ciudata, pentru ca nu se putea aplica DIRECT alta inegalitate cunoscuta... trebuia sa prelucrezi putin. Eu am incercat sa inlocuiesc in \frac{a^2}{x} + \frac{b^2}{y} \ge \frac{(a+b)^2}{x+y} pe a cu \sqrt{a^3} pe b cu \sqrt{b^3} , pe x cu x^2 si pe y cu y^2 si sa compar fr...