mateforum.ro

Da nu am citit cu atentie. Aveti dreptate. Am sa caut si alta solutie. Desi eu tind sa cred ca \( B \) si \( C \) ar trebui sa comute caci nu vad o "jonglare" cu matricele din paranteze.

Se arata, mai intai, ca AB-BA este nilpotenta, concluzia reiesind din aceasta proprietate. Sa aratam acum ca AB-BA este nilpotenta. (AB-BA)^{m+1}=C^{m+1}=C^m(AB-BA)=AC^mB-C^mBA (caci A si C comuta). Trecem la urma in aceasta ultima relatie si obtinem: tr(C^m)=tr(AC^mB-C^mBA)=0 \forall m\in\mathbb{N}...

Pentru b) evident nu exista caci daca o astfel de functie ar exista, cum \( f \) admite primitive inseamna ca \( f \) are proprietatea lui Darboux si cum este injectiva inseamna ca este continua deci duce intervale compacte in intervale compacte deci \( f \) nu este surjectiva.

Fie \( A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z}) \) o matrice inversabila astfel incat pentru orice \( k\in\mathbb{N} \) ecuatia \( X^k=A \) are solutii in \( \mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z}) \). Aratati ca \( A \) este matricea unitate.


Marius Cavachi

Sa se arate ca daca sirul \( (x_n)_{n\geq 1} \) este marginit si \( (3x_n+x_{3n})_{n\geq 1} \) este convergent, atunci \( (x_n)_{n\geq 1} \) este convergent.

Grigore Moisil, Zalau

Observ ca s-a discutat foarte mult pe tema asta. Sincer nu vad care este problema. Ca unele probleme tot se iau de undeva. Asa macar stim de unde sunt luate si avem acces mai usor la sursa. Deci nu vad o problema in faptul ca un subiect a fost dat din gazeta.

Asa e problema e gresita. Cred ca mai bine o puneam la intrebari teoretice.

Eu stiam alta formula daca \( \Delta <0 \) si anume ca \( x_{n}=R^{n}(a cos(n\alpha)+bsin(n\alpha)) \) unde \( R=|r_{1}|=|r_2| \), unde \( r_1,r_2 \) sunt solutiile ecuatiei caracteristice si \( \alpha=arg(r_1)=arg(r_2) \) si da cam diferit cred.

Ai uitat un caz, care este si cel mai greu, cazul \( x_1\in(-1;1) \) si la cazurile anterioare trebuia \( x_1\in(-\infty;-1);(1;+\infty) \) si \( x_1\in\{-1;1\} \).

Fie \( (x_n)_{n\geq 1} \) un sir marginit de numere reale. Stiind ca \( \lim_{n\to\infty}(x_{n+1}-x_{n})=0 \) sa se arate ca sirul este convergent.

***

Sa demonstram: Daca A,X\in\mathcal{M}(\mathbb{C}) cu X nilpotenta si cu AX=XA atunci \det(A+X)=\det(A) . Daca A este inversabila atunci egalitatea de aratat ramane(prin impartire prin \det(A) ) \det(A^{-1}X+I_n)=1 .(*) Cum AX=XA si X nilpotenta \Rightarrow (A^{-1}X)^{n}=(A^{-1})^nX^{n}=0_n \Rightarr...

Sa se determine functiile \( f,g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \) astfel incat \( f \) sa fie derivabila si sa se verifice ecuatia functionala:
\( f^{\prime}(x+g(y))=g(x)+y \forall x,y\in\mathbb{R} \)


GM

Aici ati folosit ceea ce am intrebat eu. Deci sa inteleg ca e adevarata? ca intra toate valorile fiecarei matrice in valorile sumei?

Se poate arata ca \( \alpha_k=\lambda_{\sigma(k)}+\mu_{\pi(k)},\sigma,\pi\in S_n \)? Ca daca aceasta afirmatie nu este adevarata eu tot nu vad o solutie a problemei...

Am gasit o solutie mai usoara zic eu. Este suficient sa aratam ca \det(I_n-AB)=\det(I_m-BA),A\in\mathcal{M}_{n,m}(\mathbb{C}),B\in\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{C}) caci putem considera, pentru cazul cu x A\to \frac{1}{x}A . Consideram n>m Fie C=\(A\mbox{ } 0_{n-m}) si D=\(B\\0_{n-m}\) , C,D\in\mathcal{M...

1. c nu apare in ecuatie. 2. sa rescriem fara "c" Sa se determine a,b\in\mathbb{R} astfel incat sa aib loc egalitatea: \frac{1}{x^2-1}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+1}\forall x\in\mathbb{R},x\neq 1\mbox{ si }x\neq-1 3. o demonstratie usoara care nici macar nu foloseste coninuitatea functiilor. ...

Deomnstram |z_1\overline{z_2}+z_2\overline{z_1}|\le 2|z_1z_2| Ridicand la patrat obtinem (z_1\overline{z_2}+z_2\overline{z_1})(z_1\overline{z_2}+z_2\overline{z_1})=2|z_1|^2|z_2|^2+z_1^2\overline{z_2}^2+z_2^2\overline{z_1}^2\leq4|z_1|^2|z_2|^2\Leftrightarrow 2|z_1|^2|z_2|^2-z_1^2\overline{z_2}^2-z_2^...