mateforum.ro

Fie \( G \) un grup și \( H \), \( K \), subgrupuri ale sale, cu \( H \) subgrup normal. Notăm cu \( \pi : G \rightarrow G/H \) proiecția canonică. Sub ce conditii restricția lui \( \pi \) la \( K \) este injectivă? Dar surjectivă?

Să se găsească toți întregii \( n \), pentru care orice grup de ordin \( n \) este ciclic. Aceeași cerință pentru "abelian" în loc de "ciclic".

a) f(x)=0 . b) Vom demonstra ca (x_n) are limita si, in plus, ca aceasta limita poate fi doar 0 sau \infty . Daca f(x)=0 , ca la punctul a), evident x_n=0 , si deci limita e 0 . Fie o functie f , astfel incat f(x_0) = a > 0 , pentru un punct x_0 \in (0,1) (daca ar fi nenula doar in capete, nu ar mai...

Fie \( (a_n)_{n \geq 1} \) un sir pozitiv si descrescator, cu proprietatea ca seria \( \sum\limits_{n=1}^\infty \epsilon_n a_n \) este convergenta, unde \( \epsilon_n = \pm 1 \), \( \forall n \geq 1 \).
Aratati ca sirul \( p_n = (\epsilon_1 + \epsilon_2 + \ldots + \epsilon_n)a_n \) converge la \( 0 \).

Fie S(x)=1+\frac{1}{2}+\ldots + \frac{1}{m-1}-\frac{x}{m}+\frac{1}{m+1}+\ldots +\frac{1}{2m-1}-\frac{x}{2m}+\frac{1}{2m+1}+\ldots + \frac{1}{3m-1}-\frac{x}{3m}+\ldots Sa se arate ca S(x) nu poate converge pentru doua valori distincte ale lui x. The Math Problems Notebook - Valentin Boju, Louis Funar

Eu as propune macar 3 sectiuni.
Una pt gimnaziu, sa zicem tip balcaniada, una pt liceu tip OIM(9-10), iar una cu analiza, matrici, etc pt liceu(11-12)+facultate.
Daca ai nevoie, ma implic si eu in organizare. Mi se pare o idee buna.

La 2): a) Unim P cu varfurile poligonului si il impartim in triunghiuri. Aria triunghiului k este S_k=\frac{l\cdot x_k}{2} , iar aria poligonului va fi S=\sum\limits_{k=1}^n S_k=\frac{l}{2}(x_1+\ldots+x_n) . b) Pentru orice numere reale strict pozitive are loc inegalitatea: (x_1+\ldots+x_n)(\frac{1}...

Daca notam C=aB , avem identitatea A^2+C^2=AC , si avem de aratat ca \frac{1}{a^2}(AC-CA)^2=O_2 , deci (AC-CA)^2=O_2 . Din Hamilton-Cayley, (AC-CA)^2=\tr(AC-CA)\cdot (AC-CA)-\det(AC-CA)\cdot I_2 . Cum \tr(AC-CA)=\tr(AC)-\tr(CA)=0 , mai ramane sa demonstram ca \det(AC-CA)=0 . Fie f(x)=\det(AC(1-x)+CA...

Sa se arate ca:
\( \int\limits_0^1 \frac{t^{a-1}}{1+t^b}dt=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+2b}-\frac{1}{a+3b}+\ldots \)

La 1):
a) Banuiesc ca trebuia precizat ca matricea e reala.
b) Daca luam \( A=\left(\begin{array}{cc}
-1 & -1 \\
1 & -1 \\
\end{array}\right) \) ne iese \( B=0 \).

Cu Mathematica da \( \frac{\pi^4}{90} \)

Am gasit si o solutie ce se bazeaza doar pe teorema de medie: Fie A=\int\limits_a^b f(t)dt si B=\int\limits_a^b g(t)dt . Luam \alpha(t)=f^\prime(t)\cdot B - g^\prime(t)\cdot A . Problema se reduce la a arata ca \exists c a.i. \alpha(c)=0 . Fie \beta(x)=\int\limits_a^x \alpha(t)dt=B\int\limits_a^x f^...

Totusi, mi se pare a fi in plus conditia \( a_n>a_0 \). Dupa cum se observa in dezvoltarea sumei, \( a_n \) apare doar in ultimul termen, si cum acesta nu tinde la infinit neaparat, conditia pare valabila pentru orice sir pozitiv (dupa cum a demostrat si Laurian).
Are cineva vreo explicatie?

Metoda reducerii la absurd e o implicatie logica de forma
\( (p\rightarrow q)\Leftrightarrow(\overline p \rightarrow \overline q) \)
Uneori, a doua implicatie e mai usor de demonstrat decat prima.

Din cate stiu, editoarele de latex permit salvarea in pdf. Daca deschideti documentul .pdf cu Adobe Reader(sau orice cititor decent de pdf-uri), trebuie sa aiba optiunea Print.

Trei colegi de camera, in timp ce dorm, sunt pictati pe fata de catre o a patra persoana, care fara a lasa nici o urma, pleaca. In momentul cand le suna ceasul desteptator, se trezesc toti trei, se uita unii la altii, si incep sa rada, fiecare crezand ca doar ceilalti doi sunt pictati. Totusi, dupa ...

Sa se rezolve ecuatia:
\( x^{x^{\ldots^x}} = 2 \)