mateforum.ro

Fie \( a_1, a_2,..,a_k \) numere naturale distincte din multimea \( \{\ 1,2,...,n\}\ \) astfel incat \( a_i(a_{i+1}-1) \vdots n \), pentru \( i=\bar{1,k-1} \) Aratati ca \( a_n(a_1-1) \) nu este divizibil cu \( n \).

Determinati toate functiile \( f:\mathbb{N}^* \rightarrow \mathbb{N}^* \) cu proprietatea ca \( f(a) \), \( b \) si \( f(b+f(a)-1) \) pot fi laturile unui triunghi nedegenerat.

O lacusta se afla in originea axei reale. Fie a_1, a_2,...,a_n niste numere naturale distincte si M o multime cu n-1 numere naturale, toate diferite de a_1+a_2+..+a_n . Lacusta face pasii a_1, a_2,..,a_n intr-o anumita ordine. Aratati ca lacusta poate alege ordinea pasilor astfel incat sa nu fi sari...

Fie ABC un triunghi cu AB=AC . Fie D piciorul bisectoarei din A pe BC si E piciorul bisectoarei din B pe AC . K este centrul cercului inscris in triunghiul ACD . Se stie ca masura unghiului \angle{BEK} este de 45^{\circ} . Determinati toate masurile posibile ale unghiului \angle{BAC} .

Fie ABC un triunghi oarecare si P si Q puncte oarecare pe laturile AB respectiv AC . Se stie ca cercul circumscris triunghiului LMN este tangent la latura PQ , unde L , M si N sunt mijloacele laturilor PQ , PC respectiv QB . Aratati ca OP=OQ , unde O este centrul cercului circumscris triunghiului AB...

Fie \( s_1, s_2,... \)un sir crescator de numere naturale cu proprietatea ca ambele siruri \( s_{s_1}, s_{s_2},.. \) si \( s_{{s_1}+1}, s_{{s_1}+1},.. \) sunt progresii aritmetice. Aratati ca \( s_1, s_2,.. \) este porgresie aritmetica.

Problema 4 Printr-o translatie putem presupune ca O este originea sistemului cartezian. Notam coordonatele punctelor A ( X_A, Y_A ) si analog la B si C . Din Pitagora X_A^2+Y_A^2=X_B^2+Y_B^2=X_C^2+Y_C^2 De aici se obtine ca exista 2 puncte (sa zicem A si B) astfel incat X_A=X_B(mod 2 si Y_A=Y_B(mod...

Problema 1 Presupunem prin absurd ca se folosesc doar 2 numere(x si y). Ele pot fi inlocuite cu 0, respectiv 1. Notam cu S_p suma din patratul p \times p , iar cu S_q suma din patratul q \times q . Fixam unul din puncte si mergem de-a lungul pq unitati. Din acel punct mergem de-a latul tot pq unita...

Notam \overline{x_1 x_2 ...x_p} cu k. Ceea ce ramane de demonstrat este ca exista numere naturale l si n astfel incat 10^l\cdot k\leq m^n<10^l \cdot(k+1) \Longleftrightarrow \lg (10^l\cdot k)\leq \lg (m^n)<\lg (10^l\cdot(k+1))\Longleftrightarrow \lg k\leq n \lg m -p<\lg (k+1) . Deoarece \lg m este i...

Probabil ca e vorba de mine, nu? ...daca da e putin mai diferit....eu doream de la inceput sa le fac pe cele de a 7-a....

Din CBS avem ca \sum \frac{a}{bc(c+a)} \geq \frac{(\sum \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{bc}})^2 } {2(a+b+c)}(1) . Vom arata ca \sum \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{bc}}\geq \sum \frac{1}{\sqrt{a}}(2) . Inmultind inegalitatea cu \sqrt{abc} , ea devine a+b+c\geq \sqrt{ab}+\sqrt{ac}+sqrt{bc} , care este adevarata, deci (2...

Mai eleganta decat a mea

Hai ca demonstrez eu prima relatie :D. Se stie ca \frac{PZ}{PY}=\frac{A[AZP]}{A[APY]}=\frac{\frac{AZ.AP.\sin(BAX)}{2}}{\frac{AY.AP.\sin(CAX)}{2}}=\frac{AZ.\sin(BAX)}{AY.\sin(CAX)} La fel putem obtine si ca \frac{BX}{CX}=\frac{AB.\sin(BAX)}{AC.\sin(CAX)} . Facand inlocuirile, relatia data este echiva...

Desfacand parantezele si reducand termenii asemenea obtinem ca inegalitatea este echivalenta cu \frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}+a^2+b^2+c^2\geq a+b+c+ab+ac+bc(*) . Avem inegalitatea a^2+b^2+c^2\geq ab+ac+bc(1) . Vom demonstra inegalitatea \frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}\geq a+b+c(2) . ...

Fie d o dreapta si punctele M,N pe d .Cercurile \alpha, \beta, \gamma , \delta de centre A, B, C, D sunt tangente la d , cercurile \alpha, \beta fiind tangente exterior in M , iar cercurile \gamma, \delta fiind tangente exterior in N , iar punctele A,C sunt de aceeasi parte a dreptei d . Sa se arate...

Avem ca \( \frac{ad+bc}{bd} \in \mathbb{N}(1) \) deci
\( d|ad+bc \Rightarrow d|bc \). Deoarece \( (c;d)=1 \) avem ca \( d|b(*) \).
Din (1) avem ca \( b|ad+bc \Rightarrow b|ad \). Deoarece \( (a;b)=1 \) avem ca \( b|d(**) \).
Din (*) si (**) avem ca \( b=d \)

Inegalitatea este echivalenta cu a^2+b^2+c^2+d^2+2(\frac{a^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}+\frac{b^2}{d^2}+\frac{d^2}{b^2})+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}\geq \frac{289}{4}(*) . Din inegalitatea mediilor avem ca a^2+b^2+c^2+d^2\geq 64 (1) Dar avem ca (a+b+c+d)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b...