mateforum.ro

\widehat{XAB}=\frac{B}{2}, \ \widehat{BAY}=90-\frac{B}{2}, \ \widehat{ZAC}=90-\frac{C}{2}, \ \widehat{CAT}=\frac{C}{2} \widehat{XAT}=\frac{B}{2}+90+\frac{C}{2}=135 90=\widehat{XAB}+\widehat{BAY}=\widehat{XAZ}+\widehat{ZAY} 90=\widehat{ZAC}+\widehat{CAT}=\widehat{ZAY}+\widehat{YAT} Rezulta \widehat{...

Fie AA_1\cap CC_1=M In triunghiul OAA_1 , cu transversala CC_1M aplicam Menelaos: \frac{CO}{CA}\cdot\frac{MA}{MA_1}\cdot\frac{C_1A_1}{C_1O}=1\Rightarrow\frac{MA}{MA_1}=\frac{4}{3} In acelasi triunghi aplicam reciproca lui Menelaos pentru punctele B, \ B_1, \ M \frac{BO}{BA}\cdot\frac{MA}{MA_1}\cdot\...

Fie \( E \) o elipsă cu semiaxele \( a \) şi \( b \). Care este aria maximă a unui patrulater convex înscris în elipsă?

Fie d un întreg mai mare sau egal cu 1 şi P(x)=x^d+a_{d-1}x^{d-1}+\ldots+a_0 un polinom cu coeficienţi complecşi. a) Fie r un număr real strict pozitiv astfel încât r^d\geq |a_{d-1}|r^{d-1}+\ldots+|a_0| . Demonstraţi că orice rădăcină complexă z a lui P verifică |z|\leq r b) Demonstraţi că orice răd...

a) Admitem că \( \pi \) este un număr iraţional. Demonstraţi că şirul \( \left(\frac{1}{|\sin n|}\right)_{n\geq 1} \) este bine definit.

b) Demonstraţi că şirul \( \left(\frac{1}{|\sin n|}\right) \) nu tinde către \( \infty \).

Fie \( A, \ B, \ C, \ D \) puncte în planul euclidian. Demonstraţi că punctele sunt conciclice dacă şi numai dacă există patru numere reale \( a,\ b,\ c,\ d \) astfel încât pentru orice \( M \) sa avem

\( aMA^2+bMB^2+cMC^2+dMD^2=0 \).

Fie \( a \) un număr real. Determinaţi toate funcţiile \( f \) derivabile pe \( \mathbf{R} \) astfel încât \( f^{\prime}(t)=f(a-t), \ \forall t\in\mathbf{R} \)

a) Determinaţi o primitivă pentru \frac{1}{\cos t} pe \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) . Se va utiliza pentru aceasta funcţia \arctan . b) Determinaţi o funcţie f de două ori derivabilă pe \mathbf{R} astfel încât f(0)=0,\ f^{\prime}(0)=2 şi f^{\prime\prime}(t)+\sin(f(t))=0, \forall t\in\mat...

Fie \( \alpha=(200)^{\frac{1}{6}} \). Determinaţi numerele raţionale \( a_0,\ldots,a_5 \) astfel încât

\( \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt[3]{5}}=a_0+a_1\alpha+\ldots+a_5\alpha^5 \).

Fie \( a \) şi \( b \) două numere reale strict pozitive.

a) Demonstraţi că, dacă \( n\in\mathbf{N} \), \( \left(1+\frac{a}{b}\right)^n+\left(1+\frac{b}{a}\right)^n\geq 2^{n+1} \)

b) Demonstraţi aceeaşi inegalitate când \( n\in\mathbf{Z} \).

Determinaţi cel mai mic număr real \( a \) astfel încât

\( n!\leq an^{n+1}e^{-n}, \ \forall n\geq 1 \)

"\( \Rightarrow \)"

\( x=\frac{\pi}{2}\Rightarrow a=-b \) (1)

\( x=\pi\Rightarrow 0=-a+b\Rightarrow a=b \) (2)

Din (1) si (2) rezulta \( a=b=0 \)

"\( \Leftarrow \)": evident

Pentru n=0 se verifica. Presupunem adevarat pentru n si demonstram pentru n+1. Avem 3\cdot 5^{2n+3}+2^{3n+4}=3\cdot 25\cdot 5^{2n+1}+8\cdot 2^{3n+1}=8(3\cdot 5^{2n+1}+2^{3n+1})+51\cdot 5^{2n+1} Folosind ipoteza inductiei si faptul ca 51 este divizibil cu 17, rezulta ca ultima expresie este divizibil...

Pentru \( n=0 \) si \( n=1 \) inegalitatea se verifica.
Apoi se demonstreaza prin inductie ca \( 2^{3n+1}>(n+4)^2, \ \forall n\geq 2 \)

a) Pentru n=1 se verifica. Presupunem ca x^k+\frac{1}{x^k}\in\mathbf{Z}, \ \forall k=1,2,...,n Avem ca \left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x^n+\frac{1}{x^n}\right)\in\mathbf{Z} Dar \left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x^n+\frac{1}{x^n}\right)=x^{n+1}+\frac{1}{x^{n+1}}+x^{n-1}+\frac{1}{x^{n-1}} Cum x^{n-1}+\f...

Fie a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7 varstele persoanelor si a_1=20, \ a_7=30 Atunci 20=\frac{a_k+a_l}{2} cu a_k,a_l\geq 20 dar ar rezulta \frac{a_k+a_l}{2}\geq 20 Egalitate are loc numai daca a_k=a_l=20 Deci exista cel putin 3 persoane cu varsta de 20 de ani. Analog, exista cel putin 3 persoane cu varst...

Cautam perechi m,n, \ |m|,|n|<10, \ m\ne n pentru care \frac{m-1}{m^2-3m+8}=\frac{n+1}{n^2-3n+8} Obtinem (n-m)(mn+m+n-11)=0\Rightarrow mn+m+n-11=0 m=\frac{11-n}{n+1}=-1+\frac{12}{n+1} Rezulta perechile (5,1), \ (-7,-3), \ (3,2), \ (-5,-4), \ (2,3), \ (-4,-5), \ (1,5), \ (-3,-7) pentru care se obtin ...