mateforum.ro

Clasa a XI-a

Subiectul 1

Subiectul 2

Subiectul 3

Subiectul 4

Fie sirul \( (a_n)_{n\ge 1} \) dat de \( a_1=1 \) si \( a_{n+1}=\frac{a_n^2+2}{n+1}, \forall n\in\mathbb{N}. \)
Sa se calculeze \( \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}} \).

GMB, subiectul 4, OLM 2009 Constanta

Sa se calculeze \( \displaystyle\lim_{n\to\infty} n(\sqrt[k]{n^k+an^{k-1}}+\sqrt[k]{n^k-an^{k-1}}-2n) \), unde \( k\in\mathbb{N}^{*},k\ge 2 \) si \( a\in \mathbb{R}_+^* \).

Dorin Arventiev, subiectul 3, OLM 2009 Constanta

i) Fie \( A, B \in M_{2n+1}(\mathbb{C}) \) cu \( A^2-B^2=I_{2n+1} \). Aratati ca \( \det(AB-BA)=0 \).
ii) Gasiti \( A, B \in M_2(\mathbb{C}) \) cu \( A^2-B^2=I_2 \), dar \( \det(AB-BA)\neq 0 \).

GMB, subiectul 2, OLM 2009 Constanta

Fie \( A \) o matrice de ordin \( n \) cu elemente reale, avand proprietatea ca \( A^{2007}+A^{2008}+A^{2009}=O_n \). Notam \( B=I_n+A+A^2 \). Sa se demonstreze ca matricea \( I_n-AB \) este inversabila.

GMB, subiectul 1, OLM 2009 Constanta

Daca \( a, b>0 \) si \( a+b=1 \), aratati ca \( a^a\cdot b^b\geq \frac{1}{2} \).

Marius Cavachi

"Fratii Karamazov" - Dostoievski

Sa se arate ca pentru orice doua numere naturale \( k, n \) cu \( 1<k<n \) are loc relatia: \( \frac{1}{k^k}+\frac{1}{(k+1)^k}+\ldots+\frac{1}{n^k}<\frac{1}{(k-1)^k} \).

Concursul "Victor Valcovici" Braila, 2008

Fie ABC un triunghi echilateral. Luand P un punct in interiorul triunghiului, consideram a^2, b^2, c^2 distantele la laturi, a, b, c fiind numere reale pozitive. Sa se gaseasca locul geometric al punctelor P astfel incat a, b, c sa fie laturile unui triunghi nedegenerat. Master in Mathematics, 2008

Fiind dat un numar intreg \( a>1 \), sa se arate ca orice intreg pozitiv \( N \) are un multiplu in sirul \( (a_n)_{n\geq 1},\ a_n=\left\[\frac{a^n}{n}\right\] \).

Master in Mathematics 2008

Fie \( n\geq 3 \) un numar intreg si \( z=\cos\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{2\pi}{n} \). Consideram multimile \( A=\left\{1,z,z^2,\ldots,z^{n-1}\right\} \) si \( B=\left\{1, 1+z, 1+z+z^2,\ldots, 1+z+\cdots +z^{n-1}\right\} \). Sa se determine multimea \( A\cap B \).

Marcel Tena, Olimpiada Judeteana 2008

Sa se determine numerele intregi \( x \) pentru care \( \log_3(1+2^x)=\log_2(1+x) \).

Lucian Dragomir, Olimpiada Judeteana 2008

Fie \( a, b \) doua numere complexe. Sa se demonstreze ca \( |1+ab|+|a+b|\geq \sqrt{|a^2-1|\cdot|b^2-1|} \).

***, Olimpiada judeteana 2008

Fie f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} o functie cu proprietatea f(\frac{x+y}{3})=\frac{f(x)+f(y)}{2} , pentru orice x, y \in \mathbb{R} . a) Demonstrati ca functia g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} , g(x)=f(x)-f(0) este aditiva, adica g(x+y)=g(x)+g(y) , pentru orice x, y \in \mathbb{R} . b) Aratati ca f este c...

Exista vreo demonstratie mai accesibila pentru formula lui Euler: \( e^{ix}=\cos x+i\sin x \)?

\infty

Clasa a IX-a:
Problema 1
Problema 2
Problema 3
Problema 4

Clasa a X-a:

Problema 1
Problema 2
Problema 3
Problema 4

Clasa a XI-a:

Problema 1
Problema 2
Problema 3
Problema 4

Clasa a XII-a:

Problema 1
Problema 2
Problema 3
Problema 4